Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Jakob Stix

By Jakob Stix

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11. Sei A ein noetherscher Integritätsring mit Quotientenkörpern K. Es sind äquivalent: (a) Jedes gebrochene Ideal I = (0) von A ist invertierbar. (b) A ist ein Dedekindring. 34 JAKOB STIX Beweis. 10 bewiesen. Wir nehmen also nun an, daß alle gebrochenen Ideale I = (0) von A invertierbar sind und müssen zeigen, daß A ein Dedekindring ist. Sei p = (0) ein Primideal von A. Dann ist p ein gebrochenes Ideal und nach Voraussetzung invertierbar. Es gibt also I ⊆ K mit p · I = A. Das gilt dann insbesondere mit I = p = {x inK ; xp ∈ A}, weil in jedem Fall I ⊆ p und dann A ⊆ p · I ⊆ p · p ⊆ A.

Angenommen, AnnR (x) ist ein echtes Ideal. Dann gibt es ein maximales Ideal m von R mit AnnR (x) ⊆ m. Dies führt zu den folgenden Abbildungen: M⊇ x R R/ AnnR (x) R/m. Wir lokalisieren an m, was exakt ist und (R/m)m = R/m hat. Somit erhalten wir mit 0 = Mm ⊇ ( x R )m (R/ AnnR (x))m (R/m)m = R/m = 0 einen Widerspruch. 43. Sei f : M → N ein R-Modulhomomorphismus. h. es sind äquivalent: (a) f hat P. (b) fp : Mp → Np hat P für alle Primideale p von R. (c) fm : Mm → Nm hat P für alle maximalen Ideale m von R.

Die besseren unter diesen lassen sich sogar dadurch nachweisen, dass man die Eigenschaft nach Lokalisieren an allen Primidealen verifiziert. 42. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Dann sind äquivalent: (a) M = 0. (b) Mp = 0 für alle Primideale p von R. (c) Mm = 0 für alle maximalen Ideale m von R. Beweis. (a) =⇒ (b) =⇒ (c) ist trivial. Sei also (c) erfüllt und sei x ∈ M beliebig. Dann ist AnnR (x) = {a ∈ R ; ax = 0} das Annullatorideal von x ∈ M . Angenommen, AnnR (x) ist ein echtes Ideal. Dann gibt es ein maximales Ideal m von R mit AnnR (x) ⊆ m.

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